Lagrangián označme Ľ . Bude roven

Ľ = w L + r K + λ(Q - K ½ . L½.)

První derivace pro jednotlivé proměnné jsou rovny:

 Ľ ( K*)½ 2w (L*)½
= w - * 1/2 = 0  * =
 L (L*) ½ ( K*)½

 Ľ (L*)½ 2 r (K*)½
= r - * 1/2 = 0  * =
 K (K*) ½ ( L*)½


 Ľ
= Q - (K*)½ (L*) ½ = 0
 
Z prvých dvou rovnic dostaneme

K* = ( w / r ) . L*

Dosadíme do 3 rovnice za K* a po vyřešení dostaneme L* = ( r / w ) ½ . Q .

Optimální vstup kapitálu je roven K* = ( w / r ) ½ . Q

a hodnota účelové funkce po dosazení za K* a L* je rovna

TC* = 2 ( w . r ) ½. Q.

Tj. objem produktu Q je možno vyrobit s minimálními náklady ve výši TC*.